高等数学基本知识

@Pelom  November 19, 2021

导数

  1. $(C)'=0$
  2. $(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$
  3. $(\sin{x})'=\cos{x}$
  4. $(\cos{x})'=-\sin{x}$
  5. $(\tan{x})'=\sec^2{x}$
  6. $(\cot{x})'=-\csc^2{x}$
  7. $(\sec{x})'=\sec{x}\tan{x}$
  8. $(\csc{x})'=-\csc{x}\cot{x}$
  9. $(a^x)'=a^x\ln{a}$
  10. $(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$
  11. $(\log_a{x})'=\dfrac{1}{x\ln{a}}$
  12. $(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$
  13. $(\arcsin{x})'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  14. $(\arccos{x})'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  15. $(\arctan{x})'=\dfrac{1}{1+x^2}$
  16. $(\mathrm{arccot}\ x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
  17. $(\sh{x})'=\ch{x}$
  18. $(\ch{x})'=\sh{x}$

等价无穷小

$x\to 0$

  1. $\sin{x}\sim x$
  2. $\tan{x}\sim x$
  3. $\arcsin{x}\sim x$
  4. $\arctan{x}\sim x$
  5. $\ln(1+x)\sim x$
  6. $\mathrm{e}^x-1\sim x$
  7. $a^x-1\sim x\ln{a}$
  8. $1-\cos{x}\sim \dfrac{1}{2}x^2$
  9. $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \dfrac{x}{n}$

泰勒公式

  1. $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+o(x^2)$
  2. $\mathrm{e}^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  3. $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$
  4. $\sin{x}=x-\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  5. $\cos{x}=1-\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$
  6. $\tan{x}=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$
  7. $\arcsin{x}=x+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  8. $\arctan{x}=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$

不定积分

  1. $\displaystyle\int k\mathrm{d}x=kx+C$
  2. $\displaystyle\int x^\mu\mathrm{d}x=\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\qquad(\mu\ne-1)$
  3. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\ln{|x|+C}$
  4. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan{x}+C$
  5. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin{x}+C$
  6. $\displaystyle\int \cos{x}\mathrm{d}x=\sin{x}+C$
  7. $\displaystyle\int \sin{x}\mathrm{d}x=-\cos{x}+C$
  8. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2{x}}=\int \sec^2{x}\mathrm{d}x=\tan{x}+C$
  9. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2{x}}=\int \csc^2{x}\mathrm{d}x=-\cot{x}+C$
  10. $\displaystyle\int \sec{x}\tan{x}\mathrm{d}x=\sec{x}+C$
  11. $\displaystyle\int \csc{x}\cot{x}\mathrm{d}x=-\csc{x}+C$
  12. $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$
  13. $\displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln{a}}+C\qquad(a>0,a\ne 1)$
  14. $\displaystyle\int \sh{x}\mathrm{d}x=\ch{x}$
  15. $\displaystyle\int \ch{x}\mathrm{d}x=\sh{x}$
  16. $\displaystyle\int \tan{x}\mathrm{d}x=-\ln{|\cos{x}|}+C$
  17. $\displaystyle\int \cot{x}\mathrm{d}x=\ln{|\sin{x}|}+C$
  18. $\displaystyle\int \sec{x}\mathrm{d}x=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|+C}$
  19. $\displaystyle\int \csc{x}\mathrm{d}x=\ln{|\csc{x}-\cot{x}|+C}$
  20. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\arctan{\dfrac{x}{a}}+C$
  21. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\ln{\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|}+C$
  22. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\dfrac{x}{a}}+C$
  23. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln{\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|}+C$
  24. $\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln{\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|}+C$

定积分

  1. 积分中值公式:$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$
  2. 积分上限函数的求导法则:$\begin{aligned}\displaystyle &\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\\ &\Phi'(x)=f(x)\end{aligned}$
  3. 牛顿-莱布尼茨公式:$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(x)\big|_a^b$
  4. 平面图形的面积

    • 直角坐标:$\displaystyle A=\int_a^by(x)\mathrm{d}x$
    • 极坐标:$\displaystyle A=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$
    • 参数方程:$\displaystyle A=\int_a^by(t)x'(t)\mathrm{d}t$
  5. 空间立体的体积

    • 平行截面面积为已知的立体的体积:$\displaystyle V=\int_a^bA(x)\mathrm{d}x$
    • 旋转体的体积

      • 绕$x$轴:$\displaystyle V=\pi\int_a^by^2(x)\mathrm{d}x$
      • 绕$y$轴:$\displaystyle V=2\pi\int_a^bxy(x)\mathrm{d}x$
  6. 平面曲线的弧长

    • 直角坐标:$\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{1+y'(x)^2}\mathrm{d}x$
    • 极坐标:$\displaystyle s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\mathrm{d}\theta$
    • 参数坐标:$\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t$

微分方程

  1. 可分离变量的微分方程:$f(x)\mathrm{d}x=g(y)\mathrm{d}y$
    两边积分
  2. 齐次微分方程:$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$
    做变换$u=\dfrac{y}{x}$
  3. 一阶线性微分方程:$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$

    • 对应齐次方程通解:$Y=C\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$
    • 非齐次方程通解:$\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)$
  4. 伯努利方程:$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\qquad(n\ne0,1)$
    除$y^n$,化为$\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$
    设$z=y^{1-n}$,化为$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$
  5. 可降阶的高阶微分方程

    • $y^{(n)}=f(x)$
      连续积分$n$次
    • $y''=f(x,y')$
      设$y'=P(x)$,化为$P'=f(x,P)$
    • $y''=f(y,y')$
      设$y'=P(y),y''=P\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}y}$,化为$P\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}y}=f(y,P)$
  6. 二阶线性微分方程:$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$

    • 二阶线性齐次微分方程:$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$
      刘维尔公式:$\displaystyle y_2(x)=y_1(x)\int\dfrac{1}{y_1^2(x)}\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$
    • 二阶线性非齐次微分方程:$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$
      解的叠加原理
  7. 二阶常系数线性微分方程:$y''+py'+qy=f(x)$

    • 二阶常系数齐次线性微分方程:$y''+py'+qy=0$
      解特征方程$r^2+pr+q=0$

      • 两不等实特征根:$r_1\ne r_2$
        $y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x}$
      • 两相等实特征根:$r_1=r_2$
        $y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2x\mathrm{e}^{r_1x}$
      • 一对共轭复特征根:$r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha-i\beta\qquad(\beta\ne 0)$
        $y=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程:$y''+py'+qy=f(x)$
      $y=Y+y^*$,其中$Y$为对应齐次方程通解

      • $f(x)=P_m(x)\mathrm{e}^{\alpha x}$
        $y^*=x^kQ_m(x)\mathrm{e}^{\alpha x}$
        其中$k=\left\{\begin{aligned}&0\qquad,\alpha 不是特征根\\ &1\qquad,\alpha 是单根\\ &2\qquad,\alpha 是重根\end{aligned}\right.$
      • $f(x)=[A_{m_1}(x)\cos{\beta x}+B_{m_2}(x)\sin{\beta x}]\mathrm{e}^{\alpha x}$
        $y^*=x^k(P_m(x)\cos{\beta x}+Q_m(x)\sin{\beta x})\mathrm{e}^{\alpha x}$
        其中$m=\max\{m_1,m_2\}$,$k=\left\{\begin{aligned}&0\qquad,\alpha+i\beta 不是特征根\\ &1\qquad,\alpha+i\beta 是单根\end{aligned}\right.$

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  1. Terrasse

    O rz

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