行列式

1. 排列的逆序数$$\tau(p_1p_2\cdots p_n)=\sum\limits_{i=1}^nt_i$$
   其中$t_i$表示比$p_i$大且排$p_i$前的数的个数

2. $$D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$
   称为$n$阶行列式

   • 上三角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
   • 下三角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
   • 对角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

3. 转置行列式$$D^{\mathrm{T}}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

   • $D^{\mathrm{T}}=D$

4. 行列式的性质

   • 交换任意两行（列），行列式的值改变符号$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

     • 推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零
   • 某一行（列）乘$k$，等于$k$乘行列式$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
   • 行列式可按行（列）拆开$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
   • 把行列式$D$的某一行（列）乘以同一个数后加到另一行（列）上，所得的行列式仍为$D$ $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+ka_{j1}&a_{i2}+ka_{j2}&\cdots&a_{in}+ka_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

5. 行列式的展开定理

   • 余子式：在$D_n$中划去元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列后剩下的元素按原来的顺序组成的$n-1$阶行列式，记为$M_{ij}$ $$M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
   • 代数余子式$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

   • 行列式按行（列）展开法则$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$$

     • 推论$$\sum\limits_{j=1}^na_{kj}A_{ij}=\delta_{ki}D$$
       其中，称$\delta_{ki}=\left\{\begin{aligned}&1,k=i\\&0,k\ne i\end{aligned}\right.$为克罗内克（Kronecker）符号
     • 范德蒙德行列式$$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&\cdots&a_2^2\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)$$

6. 克拉默法则

   • 系数行列式：含有$n$个方程的$n$元线性方程组的一般形式为$$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+&\cdots+a_{1n}x_n=b_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+&\cdots+a_{2n}x_n=b_n\\ &\vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+&\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{aligned}\right.$$它的系数构成的$n$阶行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$称为系数行列式
   • 克拉默（Cramer）法则：若$n$个方程的$n$元线性方程组的系数行列式$D\ne 0$,则方程组必有唯一解$$x_j=\dfrac{D_j}{D},\quad j=1,2,\cdots,n$$其中$$D_j=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i,1}&\cdots&a_{i,j-1}&b_i&a_{i,j+1}&\cdots&a_{i,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$是将$D$中的第$j$列换成常数项$b_1,b_2,\cdots,b_n$得到的行列式

   • 齐次线性方程组：当$b_1,b_2,\cdots,b_n$均为零时，称为齐次线性方程组

     • 若$D\ne 0$，方程组只有零解

矩阵

1. $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$

   • 当$m=n$时，称$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$为$n$阶矩阵，又称为$n$阶方阵
   • 当$m=1$时，称$\boldsymbol{A}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$为行矩阵，又称为$n$维行向量
   • 当$n=1$时，称$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_m\end{pmatrix}$为列矩阵，又称为$m$维列向量
   • 零矩阵$$\boldsymbol{O}=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{pmatrix}$$
   • $n$阶对角矩阵$$\boldsymbol{\Lambda}=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
   • $n$阶数量矩阵$$\begin{pmatrix}a&0&\cdots&0\\ 0&a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a\end{pmatrix}$$
     特别当$a=1$时，称$$\boldsymbol{E}_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$$为$n$阶单位矩阵
   • 上三角矩阵$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
   • 下三角矩阵$$\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$

   • 线性变换：线性变换和矩阵一一对应

     • 恒等变换：恒等变换对应单位矩阵

2. 矩阵的运算

   • 加法
   • 数乘

   • 矩阵乘法$$\boldsymbol{A}_{m\times s}\boldsymbol{B}_{s\times n}=\boldsymbol{C}_{m\times n}$$

     • 当满足$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$时，称$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$可交换
   • 方阵的方幂$$\boldsymbol{A}^0=\boldsymbol{E},\boldsymbol{A}^1=\boldsymbol{A},\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{AA},\cdots$$
   • 矩阵的多项式：设$x$的$m$次多项式$$f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m$$ $\boldsymbol{A}$为$n$阶方阵，定义$$f(\boldsymbol{A})=a_0\boldsymbol{A}^m+a_1\boldsymbol{A}^{m-1}+\cdots+a_{m-1}\boldsymbol{A}+a_m$$为$\boldsymbol{A}$的$m$次多项式

   • 转置矩阵$$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}$$

     • $(\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

   • 对称矩阵：若满足$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$，则称$\boldsymbol{A}$为对称矩阵

     • 反对称矩阵：若满足$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$，则称$\boldsymbol{A}$为反对称矩阵

   • 方阵的行列式$$|\boldsymbol{A}|=\det{(\boldsymbol{A})}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$

     • $|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}|=|\boldsymbol{A}|$
     • $|k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}|$
     • $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}|$

3. 逆矩阵

   • 记$\boldsymbol{A}$的逆矩阵为$\boldsymbol{A}^{-1}$ $$\boldsymbol{AA}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$

     • 逆矩阵唯一
     • 方阵$\boldsymbol{A}$可逆$\iff|\boldsymbol{A}|\ne 0$
     • $|\boldsymbol{A}^{-1}|=|\boldsymbol{A}|^{-1}$
     • $(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}$
     • $(\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$

   • 伴随矩阵$$\boldsymbol{A}^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$$其中$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式

     • $\boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$
     • $\boldsymbol{AA}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}$
     • $|\boldsymbol{A}^*|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

4. 矩阵的秩

   • 矩阵的秩（rank）为矩阵中非零子式的最大阶数，记为$\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

     • 零矩阵的秩规定为$0$
     • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$

5. 矩阵的初等变换

   • 初等行变换

     • 对换变换：$r_i\harr r_j$
     • 数乘变换：$kr_i$
     • 倍加变换：$r_i+kr_j$

     初等行变换和初等列变换统称为初等变换

     • 初等变换不改变矩阵的秩

   • 等价矩阵
     若矩阵$\boldsymbol{A}$经过有限次初等变换变为$\boldsymbol{B}$，则称$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，记作$\boldsymbol{A\cong B}$

     • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$
     • 若$\boldsymbol{A\cong E}$，则称$\boldsymbol{A}$为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵
       满秩矩阵就是可逆矩阵；降秩矩阵就是不可逆矩阵

   • 用初等变换求矩阵的秩

     • 矩阵经初等行变换变为行阶梯形矩阵，矩阵的秩即为行阶梯形矩阵台阶数（非零行的行数）
     • 继续进行初等行变换，将主元全化为$1$，且主元所在列的其他元素全为零，称为行最简形矩阵
     • 继续进行初等列变换，化为$\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_r&\bold0\\ \bold{0}&\bold{0}\end{pmatrix}$，称为等价标准形
       等价矩阵具有相同的等价标准形

6. 初等矩阵

   • 由单位矩阵$\boldsymbol{E}$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

     • 对换变换：$\boldsymbol{P}_{ij}$
       $|\boldsymbol{P}_{ij}|=-1,\\ \boldsymbol{P}_{ij}^{-1}=\boldsymbol{P}_{ij}$
     • 数乘变换：$\boldsymbol{D}_i(k)$
       $|\boldsymbol{D}_i(k)|=k,\\ \boldsymbol{D}_i(k)^{-1}=\boldsymbol{D}_i\bigg(\dfrac{1}{k}\bigg)$
     • 倍加变换：$\boldsymbol{T}_{ij}(k)$
       $|\boldsymbol{T}_{ij}(k)|=1,\\ \boldsymbol{T}_{ij}(k)^{-1}=\boldsymbol{T}_{ij}(-k)$
   • 对$\boldsymbol{A}$进行一次初等行变换，相当于$A$左乘对应的初等矩阵；对$\boldsymbol{A}$进行一次初等列变换，相当于$A$右乘对应的初等矩阵
   • 初等变换求逆
     对$n\times 2n$矩阵$\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{A}&\boldsymbol{E})\end{array}$进行初等行变换，使$\boldsymbol{A}$变换为$\boldsymbol{E}$，此时$\boldsymbol{E}$变换为$\boldsymbol{A}^{-1}$，即$$(\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2\cdots \boldsymbol{P}_m)\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{A}&\boldsymbol{E})\end{array}=\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{E}&\boldsymbol{A}^{-1})\end{array}$$

7. 分块矩阵

   • 一般形状$$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}\\ \boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}&\cdots&\boldsymbol{A}_{2s}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \boldsymbol{A}_{r1}&\boldsymbol{A}_{r2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{r\times s}$$

     • 行向量表示法：$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\\ \boldsymbol{\alpha}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{\alpha}_m\end{pmatrix}$，其中$\boldsymbol{\alpha}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$
     • 列向量表示法：$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n)$，其中$\boldsymbol{\beta}_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix}$
   • 加法
   • 数乘
   • 转置$$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{21}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r1}^{\mathrm{T}}\\ \boldsymbol{A}_{12}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{22}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r2}^{\mathrm{T}}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \boldsymbol{A}_{1s}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{2s}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}$$
   • 矩阵乘法