行列式
- 排列的逆序数$$\tau(p_1p_2\cdots p_n)=\sum\limits_{i=1}^nt_i$$
其中$t_i$表示比$p_i$大且排$p_i$前的数的个数 $$D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$$
称为$n$阶行列式- 上三角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
- 下三角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
- 对角形行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
转置行列式$$D^{\mathrm{T}}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- $D^{\mathrm{T}}=D$
行列式的性质
交换任意两行(列),行列式的值改变符号$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- 推论如果行列式中有两行(列)相同,则此行列式的值等于零
- 某一行(列)乘$k$,等于$k$乘行列式$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- 行列式可按行(列)拆开$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- 把行列式$D$的某一行(列)乘以同一个数后加到另一行(列)上,所得的行列式仍为$D$ $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}+ka_{j1}&a_{i2}+ka_{j2}&\cdots&a_{in}+ka_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
行列式的展开定理
- 余子式:在$D_n$中划去元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列后剩下的元素按原来的顺序组成的$n-1$阶行列式,记为$M_{ij}$ $$M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- 代数余子式$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$
行列式按行(列)展开法则$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$$
- 推论$$\sum\limits_{j=1}^na_{kj}A_{ij}=\delta_{ki}D$$
其中,称$\delta_{ki}=\left\{\begin{aligned}&1,k=i\\&0,k\ne i\end{aligned}\right.$为克罗内克(Kronecker)符号 - 范德蒙德行列式$$\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&\cdots&a_2^2\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)$$
- 推论$$\sum\limits_{j=1}^na_{kj}A_{ij}=\delta_{ki}D$$
克拉默法则
- 系数行列式:含有$n$个方程的$n$元线性方程组的一般形式为$$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+&\cdots+a_{1n}x_n=b_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+&\cdots+a_{2n}x_n=b_n\\ &\vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+&\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{aligned}\right.$$它的系数构成的$n$阶行列式$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$称为系数行列式
- 克拉默(Cramer)法则:若$n$个方程的$n$元线性方程组的系数行列式$D\ne 0$,则方程组必有唯一解$$x_j=\dfrac{D_j}{D},\quad j=1,2,\cdots,n$$其中$$D_j=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i,1}&\cdots&a_{i,j-1}&b_i&a_{i,j+1}&\cdots&a_{i,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$是将$D$中的第$j$列换成常数项$b_1,b_2,\cdots,b_n$得到的行列式
齐次线性方程组:当$b_1,b_2,\cdots,b_n$均为零时,称为齐次线性方程组
- 若$D\ne 0$,方程组只有零解
矩阵
$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$
- 当$m=n$时,称$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$为$n$阶矩阵,又称为$n$阶方阵
- 当$m=1$时,称$\boldsymbol{A}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$为行矩阵,又称为$n$维行向量
- 当$n=1$时,称$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_m\end{pmatrix}$为列矩阵,又称为$m$维列向量
- 零矩阵$$\boldsymbol{O}=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{pmatrix}$$
- $n$阶对角矩阵$$\boldsymbol{\Lambda}=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
- $n$阶数量矩阵$$\begin{pmatrix}a&0&\cdots&0\\ 0&a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a\end{pmatrix}$$
特别当$a=1$时,称$$\boldsymbol{E}_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$$为$n$阶单位矩阵 - 上三角矩阵$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
- 下三角矩阵$$\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$
线性变换:线性变换和矩阵一一对应
- 恒等变换:恒等变换对应单位矩阵
矩阵的运算
- 加法
- 数乘
矩阵乘法$$\boldsymbol{A}_{m\times s}\boldsymbol{B}_{s\times n}=\boldsymbol{C}_{m\times n}$$
- 当满足$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$时,称$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$可交换
- 方阵的方幂$$\boldsymbol{A}^0=\boldsymbol{E},\boldsymbol{A}^1=\boldsymbol{A},\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{AA},\cdots$$
- 矩阵的多项式:设$x$的$m$次多项式$$f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m$$ $\boldsymbol{A}$为$n$阶方阵,定义$$f(\boldsymbol{A})=a_0\boldsymbol{A}^m+a_1\boldsymbol{A}^{m-1}+\cdots+a_{m-1}\boldsymbol{A}+a_m$$为$\boldsymbol{A}$的$m$次多项式
转置矩阵$$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix}$$
- $(\boldsymbol{AB})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$
对称矩阵:若满足$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$,则称$\boldsymbol{A}$为对称矩阵
- 反对称矩阵:若满足$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$,则称$\boldsymbol{A}$为反对称矩阵
方阵的行列式$$|\boldsymbol{A}|=\det{(\boldsymbol{A})}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$
- $|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}|=|\boldsymbol{A}|$
- $|k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}|$
- $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}|$
逆矩阵
记$\boldsymbol{A}$的逆矩阵为$\boldsymbol{A}^{-1}$ $$\boldsymbol{AA}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$
- 逆矩阵唯一
- 方阵$\boldsymbol{A}$可逆$\iff|\boldsymbol{A}|\ne 0$
- $|\boldsymbol{A}^{-1}|=|\boldsymbol{A}|^{-1}$
- $(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}$
- $(\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$
伴随矩阵$$\boldsymbol{A}^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$$其中$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式
- $\boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$
- $\boldsymbol{AA}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}$
- $|\boldsymbol{A}^*|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
矩阵的秩
矩阵的秩(rank)为矩阵中非零子式的最大阶数,记为$\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$
- 零矩阵的秩规定为$0$
- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$
矩阵的初等变换
初等行变换
- 对换变换:$r_i\harr r_j$
- 数乘变换:$kr_i$
- 倍加变换:$r_i+kr_j$
初等行变换和初等列变换统称为初等变换
- 初等变换不改变矩阵的秩
等价矩阵
若矩阵$\boldsymbol{A}$经过有限次初等变换变为$\boldsymbol{B}$,则称$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价,记作$\boldsymbol{A\cong B}$- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$
- 若$\boldsymbol{A\cong E}$,则称$\boldsymbol{A}$为满秩矩阵;否则称为降秩矩阵
满秩矩阵就是可逆矩阵;降秩矩阵就是不可逆矩阵
用初等变换求矩阵的秩
- 矩阵经初等行变换变为行阶梯形矩阵,矩阵的秩即为行阶梯形矩阵台阶数(非零行的行数)
- 继续进行初等行变换,将主元全化为$1$,且主元所在列的其他元素全为零,称为行最简形矩阵
- 继续进行初等列变换,化为$\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_r&\bold0\\ \bold{0}&\bold{0}\end{pmatrix}$,称为等价标准形
等价矩阵具有相同的等价标准形
初等矩阵
由单位矩阵$\boldsymbol{E}$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
- 对换变换:$\boldsymbol{P}_{ij}$
$|\boldsymbol{P}_{ij}|=-1,\\ \boldsymbol{P}_{ij}^{-1}=\boldsymbol{P}_{ij}$ - 数乘变换:$\boldsymbol{D}_i(k)$
$|\boldsymbol{D}_i(k)|=k,\\ \boldsymbol{D}_i(k)^{-1}=\boldsymbol{D}_i\bigg(\dfrac{1}{k}\bigg)$ - 倍加变换:$\boldsymbol{T}_{ij}(k)$
$|\boldsymbol{T}_{ij}(k)|=1,\\ \boldsymbol{T}_{ij}(k)^{-1}=\boldsymbol{T}_{ij}(-k)$
- 对换变换:$\boldsymbol{P}_{ij}$
- 对$\boldsymbol{A}$进行一次初等行变换,相当于$A$左乘对应的初等矩阵;对$\boldsymbol{A}$进行一次初等列变换,相当于$A$右乘对应的初等矩阵
- 初等变换求逆
对$n\times 2n$矩阵$\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{A}&\boldsymbol{E})\end{array}$进行初等行变换,使$\boldsymbol{A}$变换为$\boldsymbol{E}$,此时$\boldsymbol{E}$变换为$\boldsymbol{A}^{-1}$,即$$(\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{P}_2\cdots \boldsymbol{P}_m)\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{A}&\boldsymbol{E})\end{array}=\begin{array}{c:c}(\boldsymbol{E}&\boldsymbol{A}^{-1})\end{array}$$
分块矩阵
一般形状$$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1s}\\ \boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}&\cdots&\boldsymbol{A}_{2s}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \boldsymbol{A}_{r1}&\boldsymbol{A}_{r2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{r\times s}$$
- 行向量表示法:$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\\ \boldsymbol{\alpha}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{\alpha}_m\end{pmatrix}$,其中$\boldsymbol{\alpha}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$
- 列向量表示法:$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n)$,其中$\boldsymbol{\beta}_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix}$
- 加法
- 数乘
- 转置$$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{21}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r1}^{\mathrm{T}}\\ \boldsymbol{A}_{12}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{22}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{r2}^{\mathrm{T}}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \boldsymbol{A}_{1s}^{\mathrm{T}}&\boldsymbol{A}_{2s}^{\mathrm{T}}&\cdots&\boldsymbol{A}_{rs}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}$$
- 矩阵乘法